2021/1/2 高数笔记
数列的极限：
设 $\vert x_{n}\vert$ 为一数列，如果存在常数 $a$ ，对于任意给定的数 $\varepsilon$ （不论他多么小），总存在正整数 $N$ ，使得当 $n>N$ 时，不等式 $\vert x_{n}-a\vert <\varepsilon$ 都成立，那么就称常数 $a$ 为数列 $\vert x_{n}\vert$ 的极限，或者称 数列 $\vert x_{n}\vert$ 收敛于 $a$ 记为
数列极限定理
1、收敛数列的有界性
如果数列 $\vert x_{n}\vert$ 收敛，那么数列 $\vert x_{n}\vert$ 一定有界
自我理解：由于数列不像函数，是离散的，所以数列的极限都是在N趋近于 $\infty$ 的时候取得的。还需要注意一点，数列有界是数列收敛的必要条件。
条件 $\rightarrow$ 结论，是充分性
结论 $\rightarrow$ 条件，是必要性
小tips：
$\underbrace{0.999\cdots9}_{n}-1=\frac{1}{10^{n}}$
分子上有根式时，可以将其化简到分母上
对于证明极限的题目，对不等式 $\vert x_{n}-a\vert <\varepsilon$ 进行适当放缩。
函数的极限
设函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数 $A$ ，对于任意给定的正数 $\varepsilon$ （不论其多么小），总存在正数 $\delta$ 使得当 $x$满足不等式 $0<\vert x-x_{0} \vert <\delta$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式
那么常数A就称为函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow x_{0}$ 时的极限。
自我理解：如果一个函数存在极限，那么对于一个任意小的正数 $\varepsilon$，总能在 $x_{0}$ 的去心邻域内找到一个 $\delta$ ，使得该函数的上确界和下确界的差小于之前给定的 $\varepsilon$。也就是说 $\varepsilon$ 的取值是不受约束的。
对于该定理来说，很重要的一点是去心邻域，这表明即使函数在 $x_{0}$ 这个点没有意义，还是存在着极限值。